Autor: sukovanej | 28.2.2013 |
Tento článek můžete vnímat jak ochutnávku matematiky kvantové mechaniky, ale stejně tak i jako jednoduchý příklad řešení lineárních diferenciálních rovnic druhého řádu.
Je to nerelativistická operátorová pohybová rovnice v kvantové mechanice. Z matematického hlediska je to parciální diferenciální rovnice druhého řádu.
V rovnici vystupuje tzv. Hamiltonův operátor(zkráceně Hamiltonián). Je to operátor celkové energie. Pokud Hamiltonián nazávisí na čase, ani vlastní hodnoty energie nezávisí na čase. O takové Schrödingerově rovnici, která obsahuje časově nezávislý hamiltonián, říkáme, že je stacionární. Dá se odvodit z operátoru pro hybnost
Hamiltonián je součet operátoru kinetické energie a poteciálu.
Navíc se nám bude hodit vztah mezi hybností a kinetickou energií.
V případě operátoru kinetické energie použijeme vztah pro kinetickou energii a operátor hybnosti. Potenciál zatím necháme být.
Poznámka : určitě jste si všimli, že operátor kinetická energie se v kvantové fyzice označuje T a potenciál se značí V (písmena se značí navíc se stříškou, což symbolizuje právě operátor).
Operátor hybnosti dosadíme do vztahu výše a dostaneme vztah
Schrödingerovu rovnici obecně zapisujeme takto
Nyní v rovnici rozepíšeme hamiltonián podle vztahu, který jsme rozepsali výše.
Přičemž delta je Laplaceův operátor, h je redukovaná konstanta a V je zmíněná potenciální energie, která je v tomto případě V = 0. Dále řešíme nečasovou Schrödingerovu rovnici
která lze upravit na tvar
Po provedení úprav jsme se dostali na tvar zkrácené lineární diferenciální rovnice druhého řádu (tj. s nulovou pravou stranou). Hledáme řešení ve tvaru y = exp(kx). To vypočteme nalezením řešení charakteristického polynomu.
Takže pro vlnovou funkci platí
Tento tvar můžeme ještě upravit. Ze vztahu pro kinetickou energii si vyjádříme hybnost
Časový vývoj vlnové funkce je dán vztahem exp(iEt/h). Časově závislá vlnová funkce má potom tvar
Ještě jednou dodávám, že se jedná o pohyb částice jen v jednom rozměru a navíc s nulovým potenciálem. Pokud bychom chtěli pohyb částice popisovat v třírozměrném prostoru, Laplaceův operátor by obsahoval součet druhých parciálních derivací podle všech prostorových souřadnic x,y a z.
Doufám, že se najde alespoň někdo, komu tento článek pomůže. Předpokládám, že se tu asi najde hodně lidí, kteří kvantovou mechaniku hledají spíše v podání Briana Greena, takže jim tento článek moc neřekne. Pokud se zde ale ode mě objeví ještě nějaké články s tématikou fyziky, bude to už spíše popularizační text, protože matematika potřebná ke kvantové mechaniky ve většině případech přesahuje rámec této série článků.
Pokud by se chtěl někdo dozvědět více, níže jsem doplnil odkazy na různé zdroje informací.