Komplexní čísla - úvod

Zdroj: SOOM.cz [ISSN 1804-7270]
Autor: Kub@z
Datum: 16.1.2005
Hodnocení/Hlasovalo: 1.72/29

Tento článek popisuje co jsou to komplexní čísla (pro ty co neví, o co jde - počítá se s odmocninou z -1) a základní operace s nimi

Na začátek chci říci, že tento článek je určen pro žáky základní školy nebo pro studenty prvního a druhého ročníku střední školy. Pro ostatní zjevně nemá smysl, protože ti už to na střední škole probrali a já zde budu popisovat opravdu pouze naprostý základ.

Takže nejdříve by to asi chtělo popsat, co to komplexní čísla jsou. Komplexní čísla jsou rozšíření reálných čísel. Množina komplexních čísel se značí C a reálná čísla (R) jsou její podmnožinou. Co je tedy ono rozšíření? Co je v C navíc? Ukážu to na malé rovnici:

x² + 1 = 0

I žák páté třídy dokáže upravit na:

x² = -1

Takže logicky dojdeme k závěru, že zadaný příklad nemá v R řešení, protože neexistuje žádné reálné číslo, které by na druhou mělo kladnou hodnotu. V komplexních číslech ovšem řešení má. Označme si jako "i" prvek, jehož druhá mocnina je -1. Pak platí:

i² = -1

"i" je tzv. imaginární jednotka. Dá se zapsat jako

"i" se nikdy nezapisuje číselně - to logicky ani nejde. Vždy se s ním pracuje pouze jako s "i". Počítá se s ním úplně stejně, jako kdybychom si napsali třeba "x" nebo "a". Je to běžná neznámá, pouze si je nutné zapamatovat, že i2 = -1. Z toho už můžeme odvodit i ostatní mocniny i:

i² = -1
i³ = i * i² = -i
i⁴ = i² * i² = -1 * -1 = 1
i⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i

Jak je vidět, z toho můžeme logicky odvodit tento závěr:

pro všechna přirozená "n"

Teď si blíže definujeme, co to komplexní číslo je. Komplexní číslo se skládá z části reálné a části imaginární - to je ono "i". Každá komplexní číslo můžeme vyjádřit ve tvaru

a + bi

kde "a" a "b" jsou reálné konstanty. Zkusme spočítat třeba tento příklad:

Jak vidíte, s vyjádřit lze takto jakékoliv komplexní číslo. Jak tedy definujeme operace s komplexními čísli? Jednoduše - jako operace s dvojčleny obsahujícími neznámou i. Řekněme: x a y jsou libovolná komplexní čísla. Pak platí:

x + y = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
x - y = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
x * y = (a + bi)*(c + di) = ac + cbi + adi + bdi2 = (ac - bd) + (ad + cb)i

Ale co dělení? Podíl je trochu složitější, ale spočítat se samozřejmě dá. Podíl vyjádříme ve tvaru zlomku:

Tento zlomek rozšíříme tak, abychom ze jmenovatele dostali komplexní číslo. Využijeme toho, že druhá mocnina i je -1. Proto rozšíříme:

Toto je obecný vzorec, ale není nutné si ho pamatovat, důležité je vědět, že zlomek musíme rozšířit zlomkem s hodnotou 1 tak, aby i "zmizelo" ze jmenovatele . Příklad:

Teď už byste měli umět spočítat všechny základní operace. Možná si teď říkáte, jak spočítat odmocninu z i. Není to žádné i druhého stupně, nebo tak něco. Odmocniny z komplexních čísel jsou normálním způsobem spočitatelné, ale je k tomu potřeba vyjádření komplexních čísel v goniometrickém tvaru. Ale o tom až v příštím článku. Jen tak pro zajímavost - odmocnina z i je (cos 45° + i * sin 45°).